Por Diego A. Mota
Imagínate que estás en un programa y tienes la oportunidad de ganar un carro, delante de ti tienes 3 puertas, una de ellas tiene un automóvil detrás, mientras que las otras dos tienen una cabra. De primeras parece injusto, pero decides seguir adelante, eliges la puerta número 1, posteriormente el presentador del programa abre la puerta 2, puerta que tiene una cabra detrás, algo que el presentador sabe de antemano. Después el presentador te pregunta si quieres cambiar de puerta o no. Si confías mucho en ti, puede que no cambies, si no quizá decidas cambiar, pero si quieres ganar ¿Qué debes hacer?
Este mismo problema se le presentó a aquellos que que participaron en el programa “Let’s Make A Deal” y la mayoría de la gente opta por conservar la puerta que eligió, pero este es un error, de hecho es un error tan común que ha ganado el nombre de “Paradoja de Monty Hall” y el 95% de la población cae, incluyendo matemáticos y académicos con gran renombre. Si decides cambiar de puerta, tus posibilidades de ganar aumentan al doble, y a continuación explicamos la razón con 3 distintos métodos.
Método de casos
Este es el método más sencillo, tomando en cuenta que vas a elegir la puerta 1 y el premio se va a ir moviendo, haremos una simulación. Si el automóvil está en la puerta uno y tú decides cambiar, perderás. Suponiendo que el coche
está en la puerta dos, el presentador
va a abrir la puerta 3 forzosamente
ya que tú has elegido la puerta 1, en
este caso si cambias, ganarás. Ahora
bien, si el carro está en la puerta 3,
el presentador abrirá la 2, ya que tú
elegiste la 1, en este caso si cambias
también ganas. Como podemos
ver, si decides cambiar vas a ganar
en dos casos y perderás solo en uno.
Método lógico
Cuando tú eliges una de las tres puertas, tu probabilidad de ganar el automóvil es de un tercio, y la probabilidad de que el coche esté en las otras puertas es de dos tercios. En el momento en el que el presentador abre una de las dos puertas que no elegiste, tu probabilidad de ganar sigue siendo de un tercio, pero la probabilidad de encontrar el carro en la otra puerta aún cerrada, absorbe la probabilidad de la puerta abierta por el presentador y se vuelve de dos tercios.
Método Bayesiano
Conocido como método Bayesiano o Matemático, este se centre en la importancia de la información y su constante actualización, coincide con ser el más complicado. Para esto tenemos que definir ciertas cosas: C será la posición del carro y M será la puerta que va a abrir Monty (el productor) y con un número a la puerta a la que nos referimos. Ahora para las condiciones usaremos una barra, tal que P(C|M)es la probabilidad de que se dé C habiéndose dado M. Con esto estamos listos para pasar a las matemáticas, pero primero vamos a volver a considerar que elegimos la puerta 1. Entonces tenemos que la probabilidad de que el carro esté en la puerta 1 habiendo Monty abierto la puerta 2, es igual a la probabilidad de que Monty haya abierto la puerta 2, estando el carro en la puerta 1, por la probabilidad de que el carro esté en la puerta 1, entre la probabilidad de que Monty abra la puerta 2. Entonces también tenemos que: la probabilidad de que el carro esté en la puerta 3 habiendo Monty abierto la puerta 2, es igual a la probabilidad de que Monty haya abierto la puerta 2, estando el carro en la puerta 3, por la probabilidad de que el carro esté en la puerta 3, entre la probabilidad de que Monty abra la puerta 2. Esto puede haber sonado a Chino, es más sencillo explicarlo con números: P(C1|M2)=P(M2|C1) P(C1)M2 y P(C3|M2)=P(M2|C3) P(C3)M2. La probabilidad de que el carro esté en la puerta 1 o 3, es una probabilidad no condicionada, una probabilidad a priori o C1 y C3 son ambas 13, y la probabilidad de que el carro esté en la puerta 1 o 3 habiendo Monty la puerta 2 es una probabilidad a posteriori o condicionada, y como el carro solo puede estar en la puerta 1 o 3 por lo tanto la suma de P(M2|C3) + P(M2|C1) = 1 si bien esto es algo más abstracto o complicado es todo para demostrar que esto se puede simplificar, tenemos que P(M2|C3) =12 porque aquí Monty puede abrir la puerta 2 o 3, mientras que P(M2|C1)=1 porque Monty solo puede abrir la puerta 3, tomando en cuenta que elegimos la puerta 1 y que si no cambiamos nuestra probabilidad es de 12 y si cambiamos nuestra probabilidad es de 1, o sea el doble podemos concluir que si la probabilidad si no cambias es de 13y la probabilidad cuando cambiamos es de 23 o el doble.Este método es extremadamente complicado tanto así que muchos académicos y matemáticos siguen escépticos.
La persona que destapó todo esto fue Marilyn von Savant, ya hemos hablado de ella en nuestras redes, quien dedicó mucho esfuerzo y 4 artículos en su revista “The American Statistician” y muchos comentarios machistas diciendo cómo las mujeres no entienden la estadística, pero para lo que sirvió fue para que todos nos dieramos cuenta como nosotros no estamos acostumbrados a pensar de forma matemática.
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